理解數學 李老師的理解數學

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學習數學的過程~即是認識自己的過程
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如何學好數學

這是余教授的幾場高中的研講稿,講題是如何學好數學,內容有談到學數學的態度、習慣、大考題目的形成,內容豐富,都是很關鍵的觀念,希望能夠對想學好數學的同學有些幫助^^ 如何學好數學 余文卿教授於南二中、家齊女中、嘉中演講搞 本文作者任教於國立中正大學應用數學研究所 很高興有這機會代表中正大學來跟大家談論數學, 從小學、國中到高中, 數學是離開不了的基本科目, 上了大學理工科, 更離開不了數學, 對一般學生, 數學是一非常頭痛的學科, 既然天天要與數學為伍, 何不下一番工夫把數學學好? 這也是我今天要講的主題: 如何學好數學, 現就學習數學的態度, 高中數學內容與數學試題三方面來談論這主題。 一. 學習數學的基本態度 A. 算計與計算 每逢數學的第一堂課, 我總要提醒學生要把自己的聰明才智用於計算, 而不要用於算計。這裡的計算當然是數學的計算, 數學本身, 就是一連串的推理和計算, 而算計指的是算計別人, 如考試舞弊, 是一種算計老師的行為。用腦力去算計別人, 結果只會帶來報復行動, 而用腦力去計算數學, 可使數學更好。唸數學不像唸國文或英文, 可用背頌的方式。唸數學一定要動筆去計算。看別人式子時, 寫下每一式子, 用頭腦去思考每一推理的過程, 必要時記下其理由, 使別人的東西變成自己的筆記, 經多次演練, 若能貫通, 才算唸通。特別注意的是: 唸數學時, 一定要備有草稿紙供計算演練。備筆記本記下自己的心得,不能光看, 光看的效果一定是零。 B. 動口與動手 有人打架時, 勸架的一句話常是君子動口不動手, 唸數學就不能有這君子風度, 既要動口且要動手。動口把式子唸出來, 以增加腦海印象, 更動手把式子寫下來, 運用腦力去推演式子, 最後把推演的心得寫下來。說到動腦方面, 數學的推演其實就是一種不折不扣的頭腦體操。我個人時常為了想數學, 而時常澈夜未眠。大家沒這種必要, 但每天花幾個小時做做數學題目, 其實是最好的頭腦運動。 C. 為什麼與如何做 演練數學, 最常問的問題是為什麼與如何下手, 這也是英文中的Why and How。看別人的式子推演, 能體會其原因何在, 而自己在推演式子時, 也能知道如何下手。以有名的餘式定理為例:餘式定理: 多項式f(x) 以x−a 除, 餘式是f(a)。要證明這定理, 首先聯想到多項式f(x)只是單項式乘上常數的組合, 而這定理對單項式顯然成立, 因xm− am 可被x − a 整除, 故一般多次式f(x), f(x) − f(a) 也可被x − a 整除, 進一步問為什麼只有多項式成立? 為什麼其他函數不可以? D . 數學與天才 很多同學對數學所持的態度是, 我不喜歡數學或我不是數學天才。有些數學家具有天生的數學才能, 可是也有很多數學家在年輕的時候不喜歡數學的。數學能力的培養後天的比先天的更重要, 尤其是大學程度以上的數學, 一定要有系統的長期訓練, 方能出人頭地。 二. 數學試題 學好數學, 短期的效用是應付月考或期考, 較長遠的打算是應付大專聯考, 而更長遠的打算或是想成為數學家, 無論如何必需面對一些陌生的題目, 現我們就談大專聯考的試題。 聯考的試題出自大學教授, 先由兩位教授分別出題, 再由一組出題人員組合成一份 考題, 題目中除少數難題外, 絕大部份是一般性題目, 而免不了有一兩個應用題目, 這類題目是一般高中生最深惡痛絕的, 沒耐心去看完題目, 即使看完題目也不知如何下手, 然而這類題目卻是教授的最愛, 整人為快樂之本,應用題目出自線性規劃、三角測量、幾何、排列組合與機率或是理科的微積分應用。 應用問題其實是由一般問題演變而來,能列出相關的式子或圖形, 問題就解決大半,這其實相當於閱讀測驗, 只是認清了題目後要有辦法解決。 大部份的聯考題目是想出來的, 只有少數題目(出自不負責的教授) 是抄出來的, 很多題目是出自定理的應用, 如餘式定理、勘根定理、正弦定理與餘弦定理。 另一方面, 聯考的題目一定是無法代入公式而得出答案的。考試的重點是想法而非公式, 又考試中多多少少有一些基本分數, 絕不輕言放棄而繳白卷, 尤其是社會組數學, 稍做準備, 得個60 分並不難。 三. 結論 學數學是要學會一些主要的定理做為運用的工具, 這也是你考試的籌碼, 對這些定理一定要有充分的理解, 透過例題與習題的演練, 促使對定理做進一步的認識; 不要一昧光 做習題, 聯考的試題並非出自題庫, 而是教授的頭腦想出來的。不要刻意去注意一些特殊的難題, 這類題目不會出現在試題中。另外數學能力的培養是長時間性, 不要考試到了才做準備。
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